LOTUS

LOTUS (Law of the unconscious statistician)

• 확률변수 X의 PDF(또는 PMF)가 p(x)일 때, $E[X]$는 $\int xp(x)dx$ 또는 $\sum xp(x)$로 구할 수 있을 것이다.

• X의 PDF(또는 PMF)인 p(x)를 알고 있다면, X의 기댓값인 $E[X]$뿐만 아니라 X에 대한 함수 g(X)의 기댓값 $E[g(X)]$도 아래와 같이 계산할 수 있다는 것이 LOTUS이다.
  $E[g(X)] = \int g(x)p(x)dx$ (X가 연속확률변수일 경우)

• 식만 보면 당연히 대충 그럴 것 같은데(라고 2학년 1학기 확통 시간에 생각하고 넘겼다..), 대표적인 예시로 $Var[X]=E[X^{2}]-\left\{ E[X] \right\} ^ {2}$ 를 구할 때 계산하는 $E[X^{2}]$가 있다. (위 식에서 $g(X)=X^{2}$인 상황)

  • r.v. X의 PDF가 $p(x)$라고 분포에 대해 알고있는 상황이라고 해도, $E[X^{2}]$와 같은 $X^{2}$에 대한 정보를 알고자 하면 $X^{2}$의 분포를 알아야 한다. $X$와 $X^{2}$는 다른 확률변수니까.
  • 그런데 $X$의 분포에 대해서는 알고 있고, 추가로 알고자 하는 것이 그 $X$ 에 대한 함수의 기댓값에 대한 정보라면 그건 $X$ 의 분포 $p(x)$만 알고 있어도 구할 수 있다는 것이다.
  • 즉 $E[X] = \int xp(x)dx$임을 이용해 $E[X^{2}] = \int x^{2}p(x)dx$ 라고 구할 수 있는 것은 LOTUS가 있기 때문.
  • 고등학교 확률과 통계를 공부할 때에도 아래와 같은 형식으로 이산확률변수에 대한 정보가 주어지면 직접 손으로 $Var[X]=E[X^{2}]-\left\{ E[X] \right\} ^ {2}$를 계산해 분산값을 구할 때도 있었는데.. (심지어 2학년 1학기 확률과 통계 시험에서도) 그 때는 배우지 않았지만 이 역시LOTUS.
  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ \hline \end{array}$$