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집합론 기초 내용 정리

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측도론과 해석학의 내용을 공부하기 전에 기본적으로 알아야 했던 집합론에 대한 기본적인 내용들을 정리했다.
고등학교 1학년일 때 집합에 대해 배우면서는 이런 개념을 어디에 활용하는지에 대해 전혀 이해하지 못했는데, '자연수 집합도 집합이다' 라는 사실만이라도 알았다면 훨씬 나았을 듯 하다. 고등학교에서 이런 것도 좀 가르쳐줬으면 좋겠다.

Set Theory

Set (집합)

명확하게 정의될 수 있는 대상들의 모임

Family of set / Collection of set

집합을 원소(element)로 가지는 집합. XX에 대해

Power Set (멱집합)

집합 XX의 부분집합(subset)들의 집합, 즉 Family of set의 일종.
2X,P(X),℘(X),P(X)2^X, \mathcal{P}(X), \displaystyle \wp(X), \mathscr{P}(X) 등 노테이션이 너무 다양하다.

Algebra of set

집합 XX에 대해 collection of set F⊆2X\mathcal{F}\subseteq 2^X가 다음 조건들을 만족할 때 F\mathcal{F}를 algebra over X 라 한다.

1.∅∈F2.A∈F⟹AC∈F∀A∈F3.A1,...,An∈F⟹⋃i=1nAi∈F∀i∈N\begin{gather} 1. \emptyset \in \mathcal{F} \\ 2. A \in \mathcal{F} \Longrightarrow A^C \in \mathcal{F} \quad \forall A \in \mathcal{F} \\ 3. A_1,...,A_n \in \mathcal{F} \Longrightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{F} \quad \forall i \in \mathbb{N} \\ \end{gather}

이를 sigma of set이라는 표현과 혼용하여 쓰기도 하는 것 같다. (다만 위키피디아에서는 구분되어있다.)

σ\sigma-algebra (of set)

σ\sigma는 countable unions에 대해 닫혀있다는 것을 의미하며, 위 세 가지 조건 중 3번이 가산개에 대하여 성립할 경우 sigma algebra라 한다.

⋃i=1∞Ai:=A1∪A2∪...∈F∀i∈N\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i := A_1 \cup A_2 \cup ... \in \mathcal{F} \quad \forall i \in \mathbb{N}

ex) X={1,2,3,4},B={{1},{2}}⊆2XX=\{1,2,3,4\}, B=\{\{1\},\{2\}\}\subseteq 2^X 일 때 F={∅,X,{1},{2},{2,3,4},{1,3,4}} \mathcal{F} = \{\emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{2,3,4\}, \{1,3,4\}\} 는 sigma algebra generated by BB 이다.



2024.01.31

References

https://blog.naver.com/mykepzzang/222197904497