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측도론으로 정의하는 확률

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측도론으로 정의하는 확률

고등학교에서 배운 확률의 정의와 한계

교과서
확률과 통계 (천재교육/이준열, 2015 교육과정) 47p

핵심은 특정 사건의 개수를 사건의 개수/개수로 정의했다는 점. 따라서 표본 공간의 크기가 무한히 큰 경우 등 개수로 정의하지 못하는 경우에 대해서는 이러한 정의로 다룰 수 없게 된다.
처음에는 확률에 대한 더 엄밀한 정의가 왜 필요한지 이해하는 것도 오래 걸렸다.

Probability Space (확률 공간)

Measure Space (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})의 measure P\mathbb{P}가 확률일 경우 이를 Probability Space라고 한다.

  • measure P\mathbb{P}는 위의 '수학적 확률'의 의미를 가져온 것이고, 이 P\mathbb{P}가 만족해야 할 세 가지 공리를 Kolmogorov Axiom이라 한다.

    1. P(E)∈N,P≥0∀E∈F\mathbb{P}(E) \in \mathbb{N}, \mathbb{P} \ge 0 \quad \forall E \in \mathcal{F}  
    2. P(Ω)=1\mathbb{P}(\Omega) =1  
    3. P(⋃n=1∞An)=∑n=1∞P(An)\mathbb{P}(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_n)  

    일반적인 measure의 조건과 달리 P(Ω)=1\mathbb{P}(\Omega) =1 이다.

  • Measure Space와 sigma algebra의 개념을 도입하면, 기존에 확률공간의 사건이라고 부르던 것들은 F\mathcal{F}의 원소가 된다. 사건을 단지 집합의 원소로 봄으로써 엄밀함을 제고하게 된다.

Random Variable (확률변수)

교과서
확률과 통계 (천재교육/이준열, 2015 교육과정) 84p

Probability Space (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) 에 대해 다음을 만족하는 함수 X:Ω→RX: \Omega \rightarrow \mathbb{R} 를 Random Variable이라 한다.

w∈Ω;X(w)∈B∈F∀Borelsubset B of R{w \in \Omega ; X(w) \in B} \in \mathcal{F} \quad \forall Borel subset \ B \ of \ \mathbb{R}

  • 확률변수는 sigma algebra의 원소를 실수값으로 매핑하는 함수이다.
  • B의 preimage(역상)가 sigma algebra에 존재해야 확률변수가 정의될 수 있다.

Distribution (확률분포)

확률분포
Shreve, S. E. (2010). Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models. Springer. p.9

Probability Space (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) 에 대한 Random Variable XX가 있을 때, XX에 대한 distribution μX\mu_X는 mass를 BB로 assign하는 measure이다. 이 때 μX(B)=P(X∈B)\mu_X(B) = \mathbb{P}(X \in B) 이다.
B는 R\mathbb{R}에 대한 Borel subset

  • 확률분포는 measure의 일종.

Expectation (기댓값)



2024.01.31

References

Shreve, S. E. (2010). Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models. Springer. https://bookdown.org/edeftg/machine_learning_with_rust/measuretheory.html#sigma https://blog.naver.com/birth1104/221853268891