Finite Set, Infinite Set, Countable Set, Uncountable Set

Finite Set

A finite set is a set that has a finite number of elements. Informally, a finite set is a set which one could in principle count and finish counting. (위키)

• 원소의 개수를 세는 것을 멈출 수 있으면 finite set이다. 아래의 정의를 통해 더 명료히 할 수 있다.

Definition

Formally, a set $S$ is called finite if there exists a bijection $f:S \rightarrow n$ for some natural number $n$.

• 의미하는 바는, 원소의 개수를 자연수 $n$으로 나타낼 수 있어야 한다.
  • 이 때 $n$은 cardinality $\lvert S \rvert$ 와 같다.
• bijection이란 one-to-one correspondence를 말한다. (위키)
• Finite set은 countable set이다.

보통 위와 같이 $\rightarrow$를 사용한 함수 표현은 화살표 앞뒤로 집합이 오고 stackexchange에서도 그런 얘기가 있는데, 위 정의에서는 갑자기 (집합이 아닌?) 수 $n$이 나와서 혼란이 있었는데... $n$을 1부터 $n$까지의 자연수들이 포함된 ($n$개의 원소가 들어있는) 집합으로 보면 의미상 맞아보인다.

Examples

$\{1,2,3\}$ 과 같은 집합

Infinite Set

An infinite set is a set that is not a finite set. (위키)

• Finite set이 아닌 set은 infinite set이다.
• Infinte set은 countable일 수도 있고, uncountable일 수도 있다.

Examples

Countable:

• 자연수 집합 $\mathbb{N}$

Incountable:

• 실수 집합 $\mathbb{R}$

둘 다 원소의 개수를 셀 수는(=원소의 개수를 자연수로 나타낼 수는) 없다. 하지만 아래의 차이에 의해 가산(countable) 여부는 갈린다.

Countable Set

A set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers. (위키)

• 집합의 원소를 자연수 집합에 일대일로 대응시킬 수 있거나, 자연수 집합의 부분집합에 일대일로 대응시킬 수 있으면 countable set이다.
• 원소의 개수를 자연수로 나타낼 수 있다는 것(=finite) 과 원소들을 자연수들에 일대일 대응시킬 수 있다는 것(=countable) 이 다르다. 이게 정말 tricky하다.
• 자연수 집합의 크기를 $\aleph_0$ (aleph-zero, aleph-nought, aleph-null) 라고 표현하기도 한다.
• Infinite set 중 countable인 것들은 모두 그 크기가 $\aleph_0$이다.

Examples

• 자연수 집합 $\mathbb{N}$
• 정수 집합 $\mathbb{Z}$
• 유리수 집합 $\mathbb{Q}$

Uncountable Set

집합의 Cardinality가 $\aleph_0$보다 큰 경우. (위키)

Examples

• 실수 집합 $\mathbb{R}$

2024.05.07

References

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https://blog.naver.com/duxogn08/221154831584