2024.05.08
( d W t ) 2 = d t (dW_t)^2=dt ( d W t ) 2 = d t X ∼ N ( 0 , σ 2 ) X \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) X ∼ N ( 0 , σ 2 ) E [ X 4 ] = 3 σ 4 \mathbb{E}[X^4]=3\sigma^4 E [ X 4 ] = 3 σ 4 stackexchange 까지 찾아봐도 상세한 계산까지 설명된 건 없어서 직접 계산을 해봐야 했다.
E [ X 4 ] : = ∫ − ∞ ∞ x 4 φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 4 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 d x (pdf of normal distribution) = ∫ − ∞ ∞ x 3 ( σ ⋅ x 2 π σ 2 e − x 2 2 σ 2 ) d x = [ x 3 ⋅ ( − σ 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ 3 x 2 ( − σ 2 π e − x 2 2 σ 2 ) d x (integration by parts) = 0 − ∫ − ∞ ∞ 3 x 2 ( − σ 2 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) d x = 3 σ 2 ∫ − ∞ ∞ x 2 ( 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) d x = 3 σ 2 ⋅ σ 2 (definition of variance) = 3 σ 4 \begin{aligned}
\mathbb{E}[X^4] & := \int_{-\infty}^{\infty}{x^4\varphi(x)}dx \\
& = \int_{-\infty}^{\infty}{x^4 \textstyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}dx && \text{(pdf of normal distribution)}\\
& = \int_{-\infty}^{\infty}{x^3 (\textstyle \frac{\sigma \cdot x}{\sqrt{2\pi}\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = \left[ x^3 \cdot (\textstyle -\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}) \right] _{-\infty} ^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}{3x^2 (\textstyle -\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx && \text{(integration by parts)}\\
& = 0 - \int_{-\infty}^{\infty}{3x^2 (\textstyle -\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = 3\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty}{x^2 (\textstyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = 3\sigma^2 \cdot \sigma^2 && \text{(definition of variance)} \\
& = 3\sigma^4
\end{aligned} E [ X 4 ] := ∫ − ∞ ∞ x 4 φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 4 2 π σ 1 e − 2 σ 2 x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ x 3 ( 2 π σ 2 σ ⋅ x e − 2 σ 2 x 2 ) d x = [ x 3 ⋅ ( − 2 π σ σ e − 2 σ 2 x 2 ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ 3 x 2 ( − 2 π σ e − 2 σ 2 x 2 ) d x = 0 − ∫ − ∞ ∞ 3 x 2 ( − 2 π σ σ 2 e − 2 σ 2 x 2 ) d x = 3 σ 2 ∫ − ∞ ∞ x 2 ( 2 π σ 1 e − 2 σ 2 x 2 ) d x = 3 σ 2 ⋅ σ 2 = 3 σ 4 (pdf of normal distribution) (integration by parts) (definition of variance) 나아가서 E [ X 2 n ] \mathbb{E}[X^{2n}] E [ X 2 n ]
E [ X 2 n ] : = ∫ − ∞ ∞ x 2 n φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 2 n − 1 ( σ ⋅ x 2 π σ 2 e − x 2 2 σ 2 ) d x = [ x 2 n − 1 ⋅ ( − σ 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ ( 2 n − 1 ) x 2 n − 2 ( − σ 2 π e − x 2 2 σ 2 ) d x = 0 − ∫ − ∞ ∞ ( 2 n − 1 ) x 2 n − 2 ( − σ 2 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) d x = ( 2 n − 1 ) σ 2 ∫ − ∞ ∞ x 2 n − 2 ( 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 ) d x = ( 2 n − 1 ) σ 2 E [ X 2 n − 2 ] = ( 2 n − 1 ) σ 2 ⋅ ( 2 n − 3 ) σ 2 E [ X 2 n − 4 ] ⋮ = ( 2 n − 1 ) ! ! σ 2 n \begin{aligned}
\mathbb{E}[X^{2n}] & := \int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n}\varphi(x)}dx \\
& = \int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n-1} (\textstyle \frac{\sigma \cdot x}{\sqrt{2\pi}\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = \left[ x^{2n-1} \cdot (\textstyle -\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}) \right] _{-\infty} ^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}{(2n-1)x^{2n-2} (\textstyle -\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = 0 - \int_{-\infty}^{\infty}{(2n-1)x^{2n-2} (\textstyle -\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = (2n-1)\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty}{x^{2n-2} (\textstyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}})}dx \\
& = (2n-1)\sigma^2 \ \mathbb{E}[X^{2n-2}] \\
& = (2n-1)\sigma^2 \cdot (2n-3)\sigma^2 \ \mathbb{E}[X^{2n-4}] \\
& \qquad \vdots \\
& = (2n-1)!!\sigma^{2n}
\end{aligned} E [ X 2 n ] := ∫ − ∞ ∞ x 2 n φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 2 n − 1 ( 2 π σ 2 σ ⋅ x e − 2 σ 2 x 2 ) d x = [ x 2 n − 1 ⋅ ( − 2 π σ σ e − 2 σ 2 x 2 ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ ( 2 n − 1 ) x 2 n − 2 ( − 2 π σ e − 2 σ 2 x 2 ) d x = 0 − ∫ − ∞ ∞ ( 2 n − 1 ) x 2 n − 2 ( − 2 π σ σ 2 e − 2 σ 2 x 2 ) d x = ( 2 n − 1 ) σ 2 ∫ − ∞ ∞ x 2 n − 2 ( 2 π σ 1 e − 2 σ 2 x 2 ) d x = ( 2 n − 1 ) σ 2 E [ X 2 n − 2 ] = ( 2 n − 1 ) σ 2 ⋅ ( 2 n − 3 ) σ 2 E [ X 2 n − 4 ] ⋮ = ( 2 n − 1 )!! σ 2 n + 이거 쓰다가 알았는데 일반적인 Factorial(!) 말고 Double Factorial(!!)도 존재한다.e . g . 7 ! ! = 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 \quad e.g. 7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 e . g .7 !! = 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1
2024.05.08
