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dW^2=dt, dt^2=0, dWdt=0

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dW2=dt,dt2=0,dWdt=0dW^2=dt, dt^2=0, dWdt=0

Ito's lemma를 유도할 때에 필요한 그 내용,

dW2=dtdW^2=dt

dt2=0dt^2=0

dWdt=0dWdt=0

의 유도 과정에 대해 (~~지난 5월 8일쯤 하라는 공부는 안하고~~) 알아보았다.


Mean-Square Convergence

lim⁡n→0E[(Xn−X)2]=0\lim_{n \rightarrow 0} \mathbb{E}[(X_n - X)^2]=0

일반적인 변수가 아닌 확률변수의 수렴에 대해 논할 때 사용될 수 있다. Xn→X as n→∞X_n \rightarrow X \ \text{as} \ n \rightarrow \infty 의 의미를 가진다.


dW2=dtdW^2=dt

dW2=dtdW^2=dt 역시 WtW_t 라는 확률변수가 포함된 식이고, mean-square convergence를 이용하여 이 등식이 성립함을 보이게 된다.

∫0tdWs2=lim⁡n→∞∑k=1nΔWtk2\scriptsize\int_0^t dW_s^2 = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 이므로 (where ΔWtk=Wtk−Wtk−1,Δt=tn,0<t1<t2<⋯<t\Delta W_{t_k} = W_{t_k}-W_{t_{k-1}}, \Delta t = \frac{t}{n}, \quad 0<t_1<t_2<\cdots<t)

mean-square convergence 식에서 Xn=∑k=1nΔWtk2, X=tX_n=\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2, \ X=t라고 보면

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtk2−t)2]=0\scriptsize\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 - t \Bigl)^2\Bigr] = 0

이제 식을 전개해보면

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtk2)2−2t(∑k=1nΔWtk2)+t2]=0\scriptsize\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl)^2 -2t (\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl) + t^2 \Bigr] = 0

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtk2)2]−2t⋅E[(∑k=1nΔWtk2)]+t2=0\scriptsize\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl)^2 \Bigr] -2t \cdot \mathbb{E} \Bigr[(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl)\Bigr] + t^2 = 0

첫 번째 항을 먼저 보면

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtk2)2]=lim⁡n→∞E[(ΔWt12+ΔWt22+⋯+ΔWtn2)2]=lim⁡n→∞E[∑k=1nΔWtk4 + 2∑0≤i<j≤nΔWti2ΔWtj2]=lim⁡n→∞E[∑k=1nΔWtk4]+2E[∑0≤i<j≤nΔWti2ΔWtj2]=lim⁡n→∞∑k=1n E[ΔWtk4]+2∑0≤i<j≤nE[ΔWti2ΔWtj2]=lim⁡n→∞∑k=1n3(Δtk)2 + 2∑0≤i<j≤nΔtiΔtj⋯ (1)=lim⁡n→∞∑k=1n3t2n2 + 2∑0≤i<j≤ntntn=lim⁡n→∞3nt2n2 + n(n−1)tntn⋯ (2)=t2\scriptsize \begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl)^2 \Bigr] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}[( \Delta W_{t_1}^2 + \Delta W_{t_2}^2 + \cdots + \Delta W_{t_n}^2)^2] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^4 \ + \ 2\sum_{0\le i < j \le n} \Delta W_{t_i}^2 \Delta W_{t_j}^2 \Bigr] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^4 \Bigr] + 2 \mathbb{E}\Bigr[\sum_{0\le i < j \le n} \Delta W_{t_i}^2 \Delta W_{t_j}^2 \Bigr] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \ \mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_k}^4 \Bigr] + 2 \sum_{0\le i < j \le n} \mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_i}^2 \Delta W_{t_j}^2 \Bigr] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n 3(\Delta t_k)^2 \ + \ 2\sum_{0\le i < j \le n} \Delta t_i \Delta t_j && \cdots \ \text{(1)}\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n 3\frac{t^2}{n^2} \ + \ 2\sum_{0\le i < j \le n} \frac{t}{n} \frac{t}{n} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} 3n\frac{t^2}{n^2} \ + \ n(n-1) \frac{t}{n} \frac{t}{n} && \cdots \ \text{(2)}\\ &= t^2 \end{aligned}

(1) : E[X4]=3σ4\mathbb{E}[X^4]=3\sigma^4

이 내용은 이 포스트에 정리되어있음

(2) : cross product term의 항 개수

  • 0≤i<j≤n0\le i < j \le n 인 i,ji,j의 조합의 수를 구하면 (n2)=n(n−1)2{n \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2} 이므로 대입하면 총 2⋅n(n−1)2=n(n−1)2\cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)개이다.
  • 또는 시그마 앞에 곱해진 2를 떼고 한 번에 생각할 수도 있다. 0≤i≤n,0≤j≤n0\le i \le n, 0\le j \le n 인 i,ji,j의 조합의 수는 (n1)⋅(n1)=n⋅n=n2{n \choose 1} \cdot {n \choose 1} = n \cdot n = n^2이고, 여기서 제곱 항의 개수는 nn개이니 cross product term의 개수는 총 n2−n=n(n−1)n^2-n=n(n-1)이 된다.

이제 두 번째 항을 보면

E[(∑k=1nΔWtk2)]=E[(∑k=1nΔtk)]=∑k=1nE[Δtk]=∑k=1nE[tn]=∑k=1ntn=n⋅tn=t\scriptsize \begin{aligned} \mathbb{E} \Bigr[(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Bigl)\Bigr] &= \mathbb{E} \Bigr[(\sum_{k=1}^n \Delta t_k \Bigl)\Bigr] \\ &= \sum_{k=1}^n \mathbb{E} \bigr[ \Delta t_k \bigr] \\ &= \sum_{k=1}^n \mathbb{E} \bigr[ \frac{t}{n} \bigr] \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{t}{n} \\ &= n \cdot \frac{t}{n} \\ &= t \end{aligned}

그리고 앞의 항 −2t-2t를 곱해주면 −2t2-2t^2이 된다.

이제 세 항의 모두 합쳐주면, t2−2t2+t2=0t^2 -2t^2+t^2=0이 성립한다. 따라서 dW2=dtdW^2=dt 이다.


dWdt=0dWdt=0

이번엔 mean-square convergence 식에 Xn=∑k=1nΔWtkΔtk, X=0X_n=\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k} \Delta t_k, \ X=0이라고 보면

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtkΔtk)2]=0\scriptsize\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k} \Delta t_k \Bigl)^2\Bigr] = 0

이다.

lim⁡n→∞E[(∑k=1nΔWtkΔtk)2]=lim⁡n→∞E[(ΔWt1Δt1+ΔWt2Δt2+⋯+ΔWtnΔtn)2]=lim⁡n→∞E[∑k=1nΔWtk2Δtk2 + 2∑0≤i<j≤nΔWtiΔWtjΔtiΔtj]=lim⁡n→∞E[∑k=1nΔWtk2Δtk2]+2E[∑0≤i<j≤nΔWtiΔWtjΔtiΔtj]=lim⁡n→∞∑k=1n E[ΔWtk2Δtk2]+2∑0≤i<j≤nΔtiΔtj⋅E[ΔWtiΔWtj]⋯ (1)=lim⁡n→∞∑k=1n(Δtk)3 =lim⁡n→∞∑k=1nt3n3=lim⁡n→∞nt3n3=0\scriptsize \begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\Bigl(\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k} \Delta t_k \Bigl)^2\Bigr] &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} \Bigr[ \Bigl( \Delta W_{t_1} \Delta t_1 + \Delta W_{t_2} \Delta t_2 + \cdots +\Delta W_{t_n} \Delta t_n \Bigl)^2 \Bigr]\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Delta t_k^2 \ + \ 2\sum_{0\le i < j \le n} \Delta W_{t_i} \Delta W_{t_j} \Delta t_i \Delta t_j \Bigr] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Bigr[\sum_{k=1}^n \Delta W_{t_k}^2 \Delta t_k^2 \Bigr] + 2 \mathbb{E}\Bigr[\sum_{0\le i < j \le n} \Delta W_{t_i} \Delta W_{t_j} \Delta t_i \Delta t_j \Bigr] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \ \mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_k}^2 \Delta t_k^2 \Bigr] + 2 \sum_{0\le i < j \le n} \Delta t_i \Delta t_j \cdot \mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_i} \Delta W_{t_j} \Bigr] && \cdots \ \text{(1)} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n (\Delta t_k)^3 \\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{t^3}{n^3} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} n\frac{t^3}{n^3} \\ &= 0 \end{aligned}

(1) : Independent increments

Brownian motion의 정의에 의해 ΔWtj\Delta W_{t_j} 와 ΔWtj\Delta W_{t_j} 는 독립이므로, E[ΔWtiΔWtj]=E[ΔWti]E[ΔWtj]\mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_i} \Delta W_{t_j} \Bigr]=\mathbb{E}\Bigr[\Delta W_{t_i} \Bigr] \mathbb{E}\Bigr[ \Delta W_{t_j} \Bigr] 이고 각각의 값이 0이므로 두 번째 항의 값은 0이 된다.

따라서 dWdt=0dWdt=0 이다.


dt2=0dt^2=0

이번엔 확률변수가 포함되어있지 않기 때문에 mean-square convergence일 필요도 없다. 구분구적법을 떠올리면

∫0tds2=lim⁡n→∞∑k=1nΔtk2=lim⁡n→∞∑k=1nt2n2=lim⁡n→∞nt2n2=0\scriptsize \begin{aligned} \int_0^t ds^2 &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \Delta t_k^2\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{t^2}{n^2}\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} n \frac{t^2}{n^2}\\ &= 0 \end{aligned}

따라서 dt2=0dt^2=0 이다.



2024.06.21

References

https://sine-qua-none.tistory.com/33
https://youtu.be/MXP57g4fXYs?si=ZJ-Fgu5CKd9_6Bus