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I.2 Completeness

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Cauchy SequenceConvergent sequence

Cauchy Sequence

Convergent sequence는 그 수열이 수렴하는 point를 포함한다. 반면 Cauchy Sequence는 이를 완화하여 다음과 같이 정의된다.

Definition (Cauchy Sequence)

Definition
Metrix space XX 안의 수열 {xi}i=1∞\{ x_i \}_{i=1}^{\infty} 는 다음을 만족할 경우 Cauchy Sequence 라 한다.
lim⁡m,n→∞d(xm,xn)=0\lim_{m,n\to\infty} d(x_m, x_n) = 0

풀어쓰면, ′∀ε>0, ∃N∈Ns.t.d(xn,xm)<ε∀ n,m≥N′'\forall \varepsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N} s.t. d(x_n, x_m) < \varepsilon \quad \forall \ n, m \geq N' 이다.

즉 수열의 원소간의 거리가 점점 가까워지면 수렴점의 존재 유무와 무관하게 Cauchy Sequence라 한다. 모든 convergent sequence는 cauchy sequence이다.

Definition (Completness)

Definition
Metrix space XX 안의 모든 Cauchy Sequence가 수렴하면 (수렴점이 XX 내에 존재하면) XX 는 complete하다.

Cauchy Sequence를 이용해 completeness가 정의된다.

  • 집합 {x∈R:0<x<1}\{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} 에 Euclidean metric을 조합한 metric space는 complete하지 않다. Cauchy Sequence {1n∣n∈N}\{\frac{1}{n} \vert n \in \mathbb{N} \} 의 수렴점인 0이 X에 포함되어있지 않기 때문이다.

Definition (Uniform convergence)

Metric space에서 수열은 함수에 대해서도 정의될 수 있고, 마찬가지로 함수가 원소인 Cauchy Sequence도 정의할 수 있으며 수렴에 대해서도 생각해볼 수 있다. 즉 집합 SS, metric space XX, 함수 f:S→Xf:S \rightarrow X 에 대해 함수의 수열 {fn}n=1∞\{ f_n \}_{n=1}^{\infty} 이 함수 ff 에 수렴하는지 여부를 따져볼 수 있다.

또한 함수 수열의 수렴에 대해서는 한 가지 개념이 더 정의된다.

Definition
함수의 수열 {fn}n=1∞\{ f_n \}_{n=1}^{\infty} 이 다음을 만족할 경우 이 수열은 uniformly converge 한다.
∀ε>0, ∃N∈N  s.t.  d()<ε∀ n≥N,s∈S\forall \varepsilon>0, \ \exists N \in \mathbb{N} \ \ s.t. \ \ d() < \varepsilon \quad \forall \ n \geq N, s \in S

Uniform convergence는 일반적인 수열이 아닌 함수의 수열에 대해 정의되는 개념이며, Pointwise convergence와 대조된다. 각 s∈Ss \in S 에 대해 NsN_s 를 찾을 수 있으면 pointwise convergence임에 반해, 모든 s∈Ss \in S 에 대해 하나의 NN 값으로 위 정의를 만족시킬 수 있으면 uniform convergence이다.

Definition (Dense)

Definition
Metrix space XX 의 subset TT 는 T‾=X\overline{T} = X 일 경우 dense 하다.

Subset이 'dense' 하다는 것은 point들이 얼마나 빽빽하게 존재해야 dense한 것인가 하는 것이 처음에 잘 와닿지 않았는데, 대표적인 예시로 유리수 집합 Q\mathbb{Q} 는 실수 집합 R\mathbb{R} 의 dense subset이다.

그리고 어떤 subset TT가 XX 의 dense subset임을 (뒤 compactness 부분의 여러 theorem과 lemma에서) 보이는 방법 중 하나는

  • 임의의 point x∈Xx \in X 에 대해, xx 를 중심으로 open ball을 어떻게 잡아도 그 안에 어떤 tt (t∈Tt \in T) 가 존재함을 보인다.
  • 이러면 해당 point xx 가 TT 의 adherent point인 것이니 x∈T‾x \in \overline{T} 이고, 그렇다면 X⊂T‾X \subset \overline{T} 이므로 T‾=X\overline{T}=X 이어서 TT 가 XX 의 dense subset임을 보인 것이다.
  • dense subset임을 보인다고 해놓고 갑자기 xx 와 tt 의 거리를 재다가 증명이 끝나버려서 이게 왜 dense하다는 증명인지 이해 못하고 당황했던 기억이 있다.

Definition (Completion)

Definition Complete metric space Y가 dense subspace X를 포함하면, Y를 X의 completion이라 한다.

Dense 의 개념을 바탕으로 completion 이라는 개념이 등장한다. 즉 complete하지 않은 XX 에 어떤 point들을 더 추가해서 complete하게 만든 것을 YY 라고 보는 것인데, 위의 예시를 이용하면 R\mathbb{R} 는 Q\mathbb{Q} 의 completion이다. 유리수 집합에는 존재하지 않는 2\sqrt{2} 와 같은 point들을 추가해서 completion을 완성하면 실수 집합이 된다는 것이다.

책에서는 연습문제를 통해 어떤 metric space든 completion이 유일하게 존재함을 보인다.



2025.06.26

References

Introduction to Topology, 2ed (T.W. Gamelin and R.E. Greene)