Yongjin Kang
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II.1 Topological Spaces

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II. Topological Spaces

위상공간에 대해 다루기 시작한다.

Definition (Topology)

Set XX 에 대해 다음을 만족하는 family T\mathscr{T} of subsets of XX 를 Topology라고 한다.

  1. X,∅∈TX, \emptyset \in \mathscr{T}
  2. Any union of sets in T\mathscr{T} belongs to T\mathscr{T}
  3. Any finite intersection of sets in T\mathscr{T} belongs to T\mathscr{T}

Definition (Topological Space)

A topological space is a pair (X,T)(X,\mathscr{T}), where XX is a set and T\mathscr{T} is a topology for XX.

  • 이제 T\mathscr{T} 의 원소인 집합들은 open이다.

    • Metric Space에서는 일단 metric이 정의되고 나면 1. any union of open set is open set, 2. finite intersection of open set is open set 이라는 것을 증명한 적이 있었는데
    • Topological Space는 반대로, '위의 두 가지 성질을 가지고 있다 -> Topological space이다.' 의 순서로 정의를 한다.

  • XX 의 subset SS 는 X\SX \backslash S 가 open 이면 closed이다.

    • 이 내용이 Metric Space에서는 이게 하나의 characterization이었지만, Topological Space에서는 이것이 정의가 된다.

Example (Trivial topology or Indiscrete topology)

Set XX 에 대해 Trivial toplogy는 T={∅,X}\mathscr{T} = \{ \emptyset, X \} 와 같다.

  • 정의에 따라 어떤 Topology든 위 두 개의 원소는 꼭 포함되어야 하고, 반대로 저 두 개의 원소만으로 topology를 만들 수 있다.

Example (Discrete topology)

Set XX 의 모든 subset이 포함된 topology이다.

Example (Metric topology)

Metric Space의 경우 모든 open set들을 모으면 topology를 만들 수 있고, 이를 Metric topology라 한다.

어떠한 metric과 관련된 metric topology가 동반된 set XX 는 metrizable이다.

그리고 Discrete topology는 언제나 metrizable이다.

Example (Cofinite topology)

Set XX 의 subset UU 에 대해 X\UX \backslash U 가 finite인 모든 UU 를 모으고, ∅\emptyset 까지 포함시키면 Cofinite topology가 된다.

  • 이런 건 왜 정의했을까 싶었지만, 이후 간간이 등장한다. 예를 들어 cofinite topology를 가지는 모든 Topological space는 compact하다.

Definition (Interior point)

Definition
XX 의 subset SS 에 대해 다음을 만족하는 open set UU 가 존재하면, SS 를 point xx 의 Neighborhood 라 한다.

x∈Ux \in U and U⊂SU \subset S


Definition
XX의 subset SS 가 x∈Xx \in X 의 neighborhood일 경우, point xx 를 SS 의 Interior point라 한다.

  • Metric Space에서의 그것과 동일하게 또한 SS 의 모든 interior point들의 집합을 int(S)\text{int}(S) 라 표기하고, interior 라 부른다. 자명하게 int(S)⊂S\text{int}(S) \subset S 이다.

Theorems

  • XX 의 subset SS 가 open이다 ⇔\Leftrightarrow S=int(S)S=\text{int}(S)
  • int(int(S))=int(S)\text{int}(\text{int}(S))=\text{int}(S)

Definition (Adherent point)

Definition
XX 의 subset SS 가 point x∈Xx \in X 의 모든 neighborhood와 만날 경우, point xx 를 subset SS 에 대해 Adherent point 라 한다.

SS 의 모든 adherent point들의 집합을 S‾\overline{S} 라 표기하고, closure 라 부른다. 자명하게 S⊂S‾S \subset \overline{S} 이다.

Theorems

  • XX 의 subset SS 가 closed다 ⇔\Leftrightarrow S=S‾S=\overline{S}
  • S‾‾=S‾\overline{\overline{S}}=\overline{S}

Definition (Convergence of sequence)

Definition
Topological space XX 안의 수열 {xi}\{ x_i \} 는 다음을 만족할 경우 x∈Xx \in X 로 수렴한다.

∀ neighborhood  U of  x,  ∃N s.t.  xi∈U  ∀i>N\forall \ \text{neighborhood} \ \ U \ \text{of} \ \ x, \ \ \exists N \ s.t. \ \ x_i \in U \ \ \forall i > N

  • Metric Space에서와 다르게 극한이 등장하지 않는다.

Definition (Boundary)

Definition
point x∈Xx \in X 가 XX 의 subset SS 에 대해 SS 와 X\SX \backslash S 모두에 대해 adherent point일 경우 boundary point라 한다.

boundary point 들의 집합을 boundary라 하고 ∂S\partial S 라 표기하며, ∂S=S‾∩(X\S‾)\partial S = \overline{S} \cap (\overline{X \backslash S}) 이다.

  • 2차원 평면의 집합의 테두리를 떠올려볼 수 있다.



2026.01.08

References

Introduction to Topology, 2ed (T.W. Gamelin and R.E. Greene)