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Preference

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Consumer Theory

대학원 1주차를 보내며 이번 상반기는 미시경제학에 파묻히는 시간이 되겠음을 직감했다.

그리고 어제 어제부터 대학원 미시경제학 수업 노트 및 학부에서 봤던 교재를 뒤져보면서, 학부에서 알고 왔어야 했을 것 같은 (하지만 이제 뒤늦게 처음 본...) 여러 개념들을 정리했다.

Preference relation

Definition (Preference relation)

Definition
set XX 의 element인 consumption bundles x1,x2∈Rn\textbf{x}_1, \textbf{x}_2 \in \mathbb{R}^n 에 대해, 'x1\textbf{x}_1 is at least ast good as x2\textbf{x}_2' 이면 x1≿x2\textbf{x}_1 \succsim \textbf{x}_2 라고 표기한다. ≿\succsim 은 prefernce relation 이라 한다.

  • Preference relation ≿\succsim 은 일종의 Binary relation 이다 [1].
  • 이를 두고 'x1\textbf{x}_1 is weakly preferred to x2\textbf{x}_2 if x1≿x2\textbf{x}_1 \succsim \textbf{x}_2.'라 한다.

이후 ≻\succ, ∼\sim 을 정의할 수 있다.

Definition
strictly preferred relation : ≻\succ 은 x1≻x2⇔x1≿x2 but not x2≿x1\textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2 \Leftrightarrow \textbf{x}_1 \succsim \textbf{x}_2 \ \text{but not} \ \textbf{x}_2 \succsim \textbf{x}_1 와 같이 정의된다.

indifference relation : ∼\sim 은 x1≻x2⇔x1≿x2 and x2≿x1\textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2 \Leftrightarrow \textbf{x}_1 \succsim \textbf{x}_2 \ \text{and} \ \textbf{x}_2 \succsim \textbf{x}_1 와 같이 정의된다.

Definition (Rationality)

대부분의 미시경제학 이론에서는 개인의 선호에 대해 rationality가 충족되는 경우를 다룬다.

Definition
Preference relation ≿\succsim 는 다음 두 성질을 가지면 rational하다고 한다.

  1. completeness: 두 consumption bundle x1,x2\textbf{x}_1, \textbf{x}_2 에 대해 선호는 항상 존재한다. (∀x1,x2∈X\forall \textbf{x}_1, \textbf{x}_2 \in X)
  2. transitivity: x3≿x2∧x2≿x1⇒x3≿x1\textbf{x}_3 \succsim \textbf{x}_2 \wedge \textbf{x}_2 \succsim \textbf{x}_1 \Rightarrow \textbf{x}_3 \succsim \textbf{x}_1 (∀x1,x2,x3∈X\forall \textbf{x}_1, \textbf{x}_2, \textbf{x}_3 \in X)
  • completeness: '둘 다 똑같이 좋은데...' 는 되지만 둘 중에 뭐가 좋은지 잘 모르겠는데... 는 안 된다.
  • transitivity: cycle하면 안 된다. 해원이보다 설윤이가 좋고, 설윤이보다 규진이가 좋고, 규진이보다 해원이가 좋고, ... 이런 식으로 순환하는 경우를 애초에 제외하기 위함이다.

Preference relation을 이용하면 여러 consumption bundle에 대한 선호를 비교할 수는 있지만, 한 bundle이 다른 bundle보다 얼마나 좋은지에 대해서는 논할 수 없다. (=Ordinal) 따라서 비로소 효용 함수의 필요성이 느껴질 수 있다.

Definition (Utility function)

Definition
함수 u:X→Ru: X \rightarrow \mathbb{R} 가 다음을 만족하면 uu 는 preference relation ≿\succsim 을 나타내는(represent) Utility function 이다.

∀x1,x2∈X, x1≿x2⇔u(x1)≥u(x2)\forall \textbf{x}_1, \textbf{x}_2 \in X, \ \textbf{x}_1 \succsim \textbf{x}_2 \Leftrightarrow u(\textbf{x}_1) \geq u(\textbf{x}_2)

  • 따라서 preference relation ≿\succsim 을 나타내는 효용 함수는 유일하게 존재하지 않는다. (= not unique)
  • Any strictly increasing function transformation에 대해 invarint한 효용 함수를 Ordinal Utility function이라고 한다.

Proposition (preference relation을 효용 함수로 나타내기 위한 필요 조건)

Proposition
Preference relation ≿\succsim 은 rational해야만(only if) Utility function으로 나타내질(represented) 수 있다.

Consumption bundle의 대소 비교 기호

미시경제학 강의노트 첫 페이지부터 헷갈렸던 부분이 이 기호이다.

두 consumpton bundles x1=(x11,...,x1n)⊤,x2=(x21,...,x2n)⊤∈Rn\textbf{x}_1 = (x_{11}, ..., x_{1n})^{\top}, \textbf{x}_2 = (x_{21}, ..., x_{2n})^{\top} \in \mathbb{R}^n 에 대해

x1≥x2  if x1i≥x2i ∀i\textbf{x}_1 \geq \textbf{x}_2 \ \ \text{if} \ x_{1i} \geq x_{2i} \ \forall i

x1≫x2  if x1i>x2i ∀i\textbf{x}_1 \gg \textbf{x}_2 \ \ \text{if} \ x_{1i} > x_{2i} \ \forall i

라고 한다. 또한

x1≥x2 and x1≠x2⇔x1i≥x2i ∀i and x1j>x2j for some j\textbf{x}_1 \geq \textbf{x}_2 \ \text{and} \ \textbf{x}_1 \ne \textbf{x}_2 \Leftrightarrow x_{1i} \geq x_{2i} \ \forall i \ \text{and} \ x_{1j} > x_{2j} \ \text{for some} \ j

이기도 하고, 이 셋 (≥,≫,≥and≠\geq, \gg, \geq \text{and} \ne)은 모두 다른 의미이다.

위의 preference relation(≿\succsim)은 consumptoin bundle 내의 재화들을 종합한 효용끼리 비교하는 것이었지만, 이건 consumption bundle 내의 재화 각각의 소비량끼리 비교하는 것이다.

Monotonicity

Preference relation과 효용함수를 함께 보는 예시들을 보다보면 오히려 헷갈리게 될 수 있는데, 그 와중에 학부에서 보던 미시경제학 책을 다시 읽다가 알게 된 개념이 Monotonicity(단조성)였다. [2]

Definition
(Monotonicity 가정 하에) x1≥x2\textbf{x}_1 \geq \textbf{x}_2 이고 x1≠x2\textbf{x}_1 \ne \textbf{x}_2 이면 u(x1)>u(x2)u(\textbf{x}_1) > u(\textbf{x}_2) 이다.

선호 예시

Case 1. x1=(3,2)⊤,x2=(3,1)⊤\textbf{x}_1 = (3, 2)^{\top}, \textbf{x}_2 = (3, 1)^{\top}

이 경우는... x11=x21x_{11}=x_{21} 이고 x12>x22x_{12} > x_{22} 이므로 당연히 x1\textbf{x}_1 의 효용이 더 높아야 할 것으로 보인다.

라고 말할 수 있는 이유가 Monotonicity 가정 때문이다. (지금까지는 '당연히 그래야겠지...?' 했지만 이제는 '단조성 가정이 있어서 그렇다!' 라고 할 수 있게 되었다.)

따라서 이 경우 x1≻x2\textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2 이다.

Case 2. x1=(3,2)⊤,x2=(2,1)⊤\textbf{x}_1 = (3, 2)^{\top}, \textbf{x}_2 = (2, 1)^{\top}

이 경우에도 x1≻x2\textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2 이다.

Case 3. x1=(4,2)⊤,x2=(1,3)⊤\textbf{x}_1 = (4, 2)^{\top}, \textbf{x}_2 = (1, 3)^{\top}

이렇게 각 재화가 엇갈리면 이제 알 수 없음이 된다.

효용 함수가 대충 u(x1,x2)=x1+x2u(\textbf{x}_1, \textbf{x}_2) = \textbf{x}_1 + \textbf{x}_2 와 같이 주어졌다면 x1≻x2\textbf{x}_1 \succ \textbf{x}_2 라고 결론낼 수는 있다.



2026.03.07

References

[1] Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, and Jerry Green, Microeconomic Theory, Oxford University Press, 1995.

[2] 김영산・왕규호, 미시경제학, 박영사, 2020, 105쪽.