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Total derivative, Chain rule

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Chain rule

Implicit Function

고등학교 미적분 교과서에서 처음 접했던 음함수이다. 정의를 찾아보면 relation으로(...) 정의된다.

y=f(x1,...)y=f(x_1, ...) 와 같이 explicit하게 하나의 변수가 다른 변수들로 표현되는 Explicit function과 달리, F(x1,x2,...)=0F(x_1, x_2, ...)=0 처럼 특정한 하나의 변수가 그 외의 변수들로 표현되어있지 않은 형태의 함수를 Implicit function이라 한다.

Implicit Function Theorem

이변수함수의 경우만 살펴보면, Implicit function f(x,y)=0f(x,y)=0 가 정의되어 있고 (x0,y0)(x_0, y_0) 에서 미분 가능하며 ∂f∂y(x0,y0)≠0\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \ne 0 일 때, 다음을 만족하는 함수 hh 가 unique하게 존재한다.

  • h(x0)=y0h(x_0)=y_0
  • x0x_0 의 neighborhood에서 f(x,h(x))=0f(x, h(x))=0

이변수함수이므로 그 의미는, 음함수에서 기울기가 수직인 부분을 제외하고는 yy 를 xx 에 대한 함수로 나타낼 수 있다고 생각해볼 수 있다.

  • 예를 들어 f(x,y)=x2+y2−1=0f(x, y)=x^2+y^2-1=0 에 대해 h(x)=1−x2h(x)=\sqrt{1-x^2} 를 사용해 y>0y>0 에 대해 f(x,h(x))=0f(x, h(x))=0 로 나타낼 수 있으나, x=1,−1x=1,-1 에서는 h(x)h(x) 가 정의되지 않는다.

  • 무차별곡선의 MRS처럼 함수의 기울기를 구해야 하는 경우라면

    df=∂f∂xdx+∂f∂ydy=0 ⋯ (*)df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy= 0 \ \cdots \ \text{(*)}

    ⇔dydx=−∂f∂x∂f∂y\Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

    ⇔dydx=−xy\Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}

    와 같이 h′(x)h'(x) 에 해당하는 함수를 구할 수 있다. (*)와 같이 쓸 수 있는 이유는, f(x,y)f(x,y) 의 값은 항상 0이니 df=0df=0 이라 둘 수 있기 때문이다.

    • 참고로 (*)의 양변을 dxdx 로 나누면 고등학교 미적분 교과서에서 나오던 음함수의 미분법 과 같은 계산이 된다.

(석사 첫 학기 미시경제 시간에) 이 음함수에 대해 배우다가, 다변수함수에 chain rule을 적용하는 계산에 대해 돌아보았다.

Total derivative

total-derivative

학부 전공을 바꾼 첫 해였던 2023년에 이런 내용을 정리했던 적이 있다.

함수 f(x1,...)f(x_1, ...) 에 대해 total derivative dfdf 는 다변수함수의 변화량을 tangent plane으로 linear approximation한 값과 같다.

하나 더 나아가서 각 xix_i 가 다른 변수들의 함수인 경우로 넘어가면 chain rule이 필요해진다.

Case 1: f(x1,x2), x1=g(t,s), x2=h(t,s)f(x_1, x_2), \ x_1=g(t,s), \ x_2=h(t,s)

지금까지 본 것 중에는 가장 general한 케이스이다. ff 를 t,st, s 에 대하여 dfdf 를 구하면

df=∂f∂tdt+∂f∂sds ⋯ (*)df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial s}ds \ \cdots \ \text{(*)}

이다. 이중 ∂f∂t\frac{\partial f}{\partial t} 에 먼저 chain rule을 적용하여 풀어쓰려면, f(x1,x2)f(x_1, x_2) 의 독립변수인 x1x_1 과 x2x_2 가 모두 tt 를 독립변수로 가지는 함수이니

∂f∂t=∂f∂x1∂g∂t+∂f∂x2∂h∂t\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial t}

와 같이 정리할 수 있다. ∂f∂s\frac{\partial f}{\partial s} 에도 동일하게 적용할 수 있고, 이를 모두 정리하여 (*)에 대입하면

df=(∂f∂x1∂g∂t+∂f∂x2∂h∂t)dt+(∂f∂x1∂g∂s+∂f∂x2∂h∂s)dsdf = (\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial t})dt + (\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial s})ds

이다.

Case 2: f(x1,x2), x1=g(t), x2=h(t)f(x_1, x_2), \ x_1=g(t), \ x_2=h(t)

이번에는 x1,x2x_1, x_2 모두 동일한 하나의 독립변수를 가지는 경우이다. 따라서 ∂g∂s=∂h∂s=0\frac{\partial g}{\partial s} = \frac{\partial h}{\partial s} =0 가 되므로

df=(∂f∂x1∂g∂t+∂f∂x2∂h∂t)dtdf = (\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial t})dt

이다. 양변을 dtdt 로 나누면 dfdt\frac{df}{dt} 를 간편히 구할 수 있다. 이를 사용해서 미시경제 수업에서 나온 예시가

Example: Directional derivative

이변수함수 f(x1,x2)f(x_1, x_2) 의 방향도함수를 구하는 것이다.

방향도함수를 구할 point a=(a1,a2)\textbf{a}=(a_1, a_2), 방향을 나타내는 벡터 v=(v1,v2)\textbf{v}=(v_1, v_2) 가 주어졌을 때, 함수 h(t)=f(a+tv)h(t) = f(\textbf{a} + t \textbf{v}) 를 정의하여 방향도함수를 구할 수 있다.

h(t)=f(a1+tv1,a2+tv2)h(t) = f(a_1 + t v_1, a_2 + t v_2) 와 같은데, 이때 xi=ai+tvi (i=1,2)x_i = a_i + t v_i \ (i=1,2) 이다. 이제 h′(t)h'(t) 를 구하면

dh=(∂f∂x1∂g∂t+∂f∂x2∂h∂t)dtdhdt=∂f∂x1∂x1∂t+∂f∂x2∂x2∂t=∂f∂x1v1+∂f∂x2v2\begin{aligned} dh &= (\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial t})dt \\ \frac{dh}{dt} &= \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x_1} v_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} v_2 \\ \end{aligned}

이고, 이는 방향도함수를 구하는 공식인 ∇f⋅v\nabla f \cdot \textbf{v} 와 같다.

Case 3: $f(x_1, x_2)

x1=g(t)=t,x2=h(s)=sx_1=g(t)=t, x_2=h(s)=s 인 것이라고 생각하면, ∂g∂s=∂h∂t=0\frac{\partial g}{\partial s}=\frac{\partial h}{\partial t}=0 이므로

df=(∂f∂x1∂g∂t)dt+(∂f∂x2∂h∂s)dsdf = (\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial g}{\partial t})dt + (\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial h}{\partial s})ds

이다.  ∂g∂t=∂h∂s=1\ \frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial h}{\partial s}=1 이고,  dx1=dt, dx2=s\ dx_1=dt, \ dx_2=s 이니 모두 바꿔주면

df=∂f∂x1dx1+∂fx2dx2df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{x_2} dx_2

이 된다.

재무론 수업에서는 x1,x2x_1, x_2 가 각각 risky asset에 투자하는 비중, endowment를 의미하는 예시를 보았다.



2026.03.17

References