Home
Blog
Music
Photo

3. Stochastic Integration

Tags:

https://www.math.uchicago.edu/~lawler/inprogress

3.1 What is stochastic calculus?

2024.02.06

  • Calculus의 핵심 아이디어는 어떤 함수의 rate of change를 통해 그 함수를 알아낼 수 있다는 것. dfdt=f′(t)=C(t,f(t)),f(t)=x0+∫0tC(s,f(s))ds\frac{df}{dt} = f'(t) = C(t, f(t)), f(t) = x_0 + \int_{0}^{t}{C(s, f(s))}ds

  • Euler's method에 따라 f((k+1)Δt)=f(kΔt)+Δt C(kΔt,f(kΔt))f((k+1)\Delta t) = f(k\Delta t) + \Delta t \ C(k\Delta t, f(k \Delta t)) 와 같이 쓸 수 있다.
    미분적분학I에서 보는 그 내용
    euler's method

  • Stochastic calculus도 이와 비슷하나, 여기에는 '변화'에 randomness가 추가된다.
    앞으로 아래와 같은 SDE(Stochastic Differential Equation)가 어떻게 make sense하게 될 수 있는지 알아볼 것.
    dXt=m(t,Xt)+σ(t,Xt)dBtdX_t = m(t, X_t) + \sigma(t, X_t) dB_t ⋯\cdots (3.1) where BtB_t is a standard Brownian motion

    • 위 식의 의미는, tt 시점에서 XtX_t 가 drift는 mm이고 variance는 σ\sigma 인 Brownian motion처럼 변화한다는 것
    • 일반적인 calculus보다 풀기 어렵고 보통은 numerical한 방법이 필요하다. 그중 하나는 Monte Carlo를 활용한 stochastic Euler method: X((k+1)Δt)=X(kΔt)+Δt m(kΔt,X(kΔt))+Δt σ(kΔt,X(kΔt))NkX((k+1)\Delta t) = X(k\Delta t) + \Delta t \ m(k\Delta t, X(k \Delta t)) + \sqrt{\Delta t} \ \sigma(k\Delta t, X(k \Delta t)) N_k
      where Nk∼N(0,1)N_k \sim N(0,1)

  • Stochastic calculus에서는 Xt=X0+∫0tm(s,XS)ds+∫0tσ(s,XS)dBsX_t = X_0 + \int_{0}^{t}{m(s,X_S)ds} + \int_{0}^{t}{\sigma(s,X_S)dB_s} 를 만족하는 XtX_t 를 위 (3.1)과 같은 SDE의 해라고 본다.

    • 이중 dsds term은 일반적인 calculus와 다를 게 없고, 그 뒤의 term 즉 ∫0tAsdBs\int_{0}^{t}{A_s dB_s} 의 정확한 의미가 무엇인지가 주요한 문제이다.
    • 이를 다루는 여러 방법들이 있지만, 여기서는 mathematical finance에서 가장 흔히 사용되는 Itô integral에 대해 알아본다.

3.2 Stochastic integral

2024.02.06

  • BtB_t 가 1차원의 standard Brownian motoin (drift가 0, variance가 1) w.r.t. the Fn\mathcal{F}_n 라고 할 때, 다음과 같은 (stochastic) process를 정의하고자 한다.
    Zt=∫0tAsdBsZ_t = \int_0^tA_sdB_s
  • discrete stochastic integral에서처럼 AsA_s 는 베팅 금액으로 생각할 수 있음 음수일 때는 흡사 숏

3.2.1. Review of Riemann integration

적분 구간을 여러 partition으로 나누고 step function으로 근사한 뒤 극한을 취한다는 기본적인 내용

3.2.2. Integration of simple process

simple process는 마치 리만 적분에 사용되는 step function과 같은 것

  • 이는 베팅을 하는 시점들이 유한(finite)하다고 생각하면 되고, Zt=∫0tAsdBsZ_t=\int_0^t{A_sdB_s} 를 다음과 같이 정의할 수 있다. Ztj=∑i=0j−1Yi[Bti+1−Bti](At=Yj)Z_{t_j}=\sum_{i=0}^{j-1}{Y_i[B_{t_{i+1}}-B_{t_i}]} \quad (A_t=Y_j)
    integrating simple process tj=/=jt_j =/= j 인지 아닌지 빨리 이해가 안돼서 이해하는 데에 오래 걸린 부분
    저렇게 보는 것 자체가 르베그 적분 느낌이 난다.

Proposition 3.2.1.

Properties of stochastic integral of simple process

  1. Linearity
  2. Martingale property
  3. Variance rule
  4. Continuity : Random Walk의 적분과 비교했을 때, Simple process의 적분은 연속성이 있다. Brownian Motion이 연속적이기 때문

3.2.3. Integration of continuous process

  • 이번에는 AtA_t 가 continuous path를 가지는 process를 적분
  • 다음의 Lemma를 이용

Lemma 3.2.2.

continuous path를 가지는 process AtA_t 와 ∀t∣At∣≤C\forall t \lvert A_t \rvert \le C 인 C<∞C < \infty 가 있을 때, 모든 tt 에 대해 다음을 만족하는 simple process At(n)A_t^{(n)} 들이 존재한다.

lim⁡n→∞∫0tE[∣As−As(n)∣2]ds=0where ∀n,t, At(n)≤C\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t}{\mathbb{E}[\lvert A_s - A_s^{(n)} \rvert^2]ds}=0 \quad where \ \forall n,t, \ A_t^{(n)} \le C


  • 위 Lemma를 이용해 bounded, continuous process AsA_s 의 적분을 다음과 같이 같이 정의할 수 있다.
    Zt=∫0tAsdBs=lim⁡n→∞∫0tAs(n)dBsZ_t = \int_{0}^{t}{A_sdB_s} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t}{A_s^{(n)}dB_s}
    continuous path는 step function처럼 생긴 것들을 더 촘촘하게 만들어서 정의. 흡사 리만적분

Proposition 3.2.3.

Continuous path를 가지는 process의 적분이 가지는 4개의 property들은 위 Proposition 3.2.1. 과 같다.

Proposition 3.2.5.

반드시 bounded가 아니어도 정의가 가능하나, 경우에 따라 위 4개의 property들 중 martingale property가 성립하지 않을 수 있다. (Section 4.1 참고)


  • 이제 Xt=X0+∫0tAsdBsX_t = X_0 + \int_{0}^{t}{A_sdB_s} 을 만족하는 XtX_t 는 dXt=AtdBTdX_t = A_tdB_T 와 같이 stochastic differential의 형태로 써낼 수 있고, 지금까지 continuous process AtA_t 에 대해 이를 정의했다. 또한 XtX_t는 tt 에 대한 연속 함수이다.
  • bounded continuous function ϕ\mathbb{\phi} 에 대해 dXt=ϕ(Xt)dBtdX_t = \mathbb{\phi}(X_t)dB_t 를 풀어내는 것은 더 어려우나(Section 3.5 마지막 부분 참고), 이를 Euler rule로 시뮬레이션하는 것은 다음과 같이 straightforward하다. (95p) Xt+Δt=Xt+ϕ(Xt)Δt NX_{t+\Delta t} = X_t +\mathbb{\phi}(X_t)\sqrt{\Delta t} \ N where Nk∼N(0,1)N_k \sim N(0,1)
  • usual calculus의 rule을 stochastic calculus에 동일하게 적용할 수 없다. 예를 들어 ∫0tBsdBs=12[Bt2−t]≠Bt22\int_{0}^{t}{B_sdB_s}=\frac{1}{2}[B_t^2-t]\ne\frac{B_t^2}{2} 이다.
    • 이런 차이를 위해 사용하는 것이 다음 section에서 나오는 Itô's lemma이다.
    • ∫0tBsdBs≠Bt22\int_{0}^{t}{B_sdB_s}\ne\frac{B_t^2}{2} 이라는 것에 대해서는, expectation을 구해보면 E[Bt22]=t2≠0\mathbb{E}[\frac{B_t^2}{2}]=\frac{t}{2}\ne 0 임을 알 수 있다. (96p)
  • 위 예시의 12[Bt2−t]\frac{1}{2}[B_t^2-t] 처럼 non-normal distribution이 나올 수도 있다.

Theorem 3.2.6.

AtA_t 가 continuous or piecewise continuous path를 가지는 adapted process이고 Zt=∫0tAsdBsZ_t=\int_{0}^{t}{A_sdB_s} 이면 ⟨Z⟩t=∫0tAs2ds\langle Z \rangle _t=\int_{0}^{t}{A_s^2ds}

여기서 As=σA_s=\sigma 로 상수이면 quadratic variation은 익숙한 값인 σ2t\sigma^2t 가 나온다.

Quadratic variation은 E[⟨Z⟩t]=E[∫0tAs2ds]=∫0tE[As2]ds\mathbb{E}[\langle Z \rangle _t] = \mathbb{E}\biggr[ \int_{0}^{t}{A_s^2ds} \biggr] = \int_{0}^{t}{\mathbb{E}[A_s^2]ds} 을 mean으로 가지는 **r.v.**이다.

3.3 Itô's formula

2024.02.07

Theorem 3.3.1.

f∈C2f \in C^2 와 standard brownian motion BtB_t, 그리고 모든 tt 에 대해
df(Bt)=f′(Bt)dBt+12f′′(Bt)dtdf(B_t) = f'(B_t)dB_t + \frac{1}{2} f''(B_t)dt

이건 Theorem 3.4.1.까지 본 후에 다시

3.4 More versions of Itô's formula

2024.02.07

Theorem 3.4.1.

f(t,x)f(t,x) 가 tt 에 대해서는 C1C^1, xx 에 대해서는 C2C^2 이고, BtB_t 는 standard brownian motion일 때, df(t,Bt)=∂xf(t,Bt)dBt+[∂tf(t,Bt)+12∂xxf(t,Bt)]dtdf(t, B_t) = \partial _x f(t, B_t)dB_t + \biggr[\partial _t f(t, B_t) + \frac{1}{2} \partial _{xx} f(t,B_t) \biggr] dt

Section 3.3과 3.4의 Itô's Lemma는 책 외에 찾아봤던 내용들을 종합해서 정리했다.

Itô's lemma는 taylor expansion으로부터 유도해낼 수 있다. 다만 이는 엄밀한 증명은 아닌 heuristic한 방법이다. (위키)

  • 먼저 미분적분학1에서 배우는 taylor expansion의 형태는 f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots 이다.

  • 이변수 함수 f(t,x)f(t,x) 에 대한 taylor expansion은

    f(t,x)=f(t0,x0)+∂f(t0,x0)∂t(t−t0)+∂f(t0,x0)∂x(x−x0)+12![∂2f(t0,x0)∂t2(t−t0)2+2∂2f(t0,x0)∂t∂x(t−t0)(x−x0)+∂2f(t0,x0)∂x2(x−x0)2]+13![∂3f(t0,x0)∂t3(t−t0)3+3∂3f(t0,x0)∂t2∂x(t−t0)2(x−x0)+3∂3f(t0,x0)∂t∂x2(t−t0)(x−x0)2+∂3f(t0,x0)∂x3(x−x0)3]+⋯\begin{aligned} \small f(t, x) & = f(t_0, x_0) + \frac{\partial f(t_0,x_0)}{\partial t}(t - t_0) + \frac{\partial f(t_0,x_0)}{\partial x}(x - x_0) \\ & + \frac{1}{2!}\biggr[ \frac{\partial ^2 f(t_0,x_0)}{\partial t^2}(t - t_0)^2 + 2 \frac{\partial ^2 f(t_0,x_0)}{\partial t \partial x}(t - t_0)(x - x_0) + \frac{\partial ^2 f(t_0,x_0)}{\partial x^2}(x - x_0)^2 \biggr] \\ & + \frac{1}{3!}\biggr[ \frac{\partial ^3 f(t_0,x_0)}{\partial t^3}(t - t_0)^3 + 3 \frac{\partial ^3 f(t_0,x_0)}{\partial t^2 \partial x}(t - t_0)^2(x - x_0) \\ & + 3 \frac{\partial ^3 f(t_0,x_0)}{\partial t \partial x^2}(t - t_0)(x - x_0)^2 + \frac{\partial ^3 f(t_0,x_0)}{\partial x^3}(x - x_0)^3 \biggr] \\ & + \cdots \end{aligned}

    이고, 이와 유사하게 다음과 같은 수식도 존재한다.

    f(t+dt,x+dx)−f(t,x)=∂f∂tdt+∂f∂xdx+12![∂2f∂t2dt2+2∂2f∂t∂xdtdx+∂2f∂x2dx2]+⋯f(t + dt, x + dx) - f(t, x) = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{1}{2!}\biggr[ \frac{\partial ^2 f}{\partial t^2}dt^2 + 2 \frac{\partial ^2 f}{\partial t \partial x}dtdx + \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}dx^2 \biggr] + \cdots
    여기서 좌변은 dfdf 라 하자.

  • Itô process XtX_t 가 dXt=μtdt+σtdBtdX_t = \mu_t dt + \sigma_t dB_t 일 때, 위 식의 xx 를 XtX_t 로 대체하기 위해 dxdx 에 μtdt+σtdBt\mu_t dt + \sigma_t dB_t 를 대입하면
    df=∂f∂tdt+∂f∂x(μtdt+σtdBt)+12![∂2f∂t2dt2+2∂2f∂t∂xdt(μtdt+σtdBt)+∂2f∂x2(μtdt+σtdBt)2]+⋯df = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}(\mu_t dt + \sigma_t dB_t) + \frac{1}{2!}\biggr[ \frac{\partial ^2 f}{\partial t^2}dt^2 + 2 \frac{\partial ^2 f}{\partial t \partial x}dt(\mu_t dt + \sigma_t dB_t) + \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(\mu_t dt + \sigma_t dB_t)^2 \biggr] + \cdots

  • dt→0dt \rightarrow 0 일 때, dt2dt^2 와 dtdBtdtdB_t 는 dBt2dB_t^2 보다 빠르게 0에 근접한다. (dBt2dB_t^2 는 O(dt)O(dt) 이므로)
    dt2=0dt^2=0, dtdBt=0dtdB_t=0 이라 두면, dt,dBt,dBt2dt, dB_t, dB_t^2 term들만 남을 수 있으므로 위의 expansion에서 대부분의 항들은 사라진다. (위키)

    df=∂f∂tdt+∂f∂x(μtdt+σtdBt)+12![∂2f∂x2σt2dt]=[∂f∂t+∂f∂xμt+σt22∂2f∂x2]dt+σt∂f∂xdBt\begin{aligned} df & = \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}(\mu_t dt + \sigma_t dB_t) + \frac{1}{2!}\biggr[\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\sigma_t^2 dt \biggr] \\ & = \biggr[ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\mu_t + \frac{\sigma_t^2}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \biggr] dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dB_t \\ \end{aligned}

  • **Theorem 3.3.1.**의 경우처럼 XtX_t 가 μt=0,σt=1\mu_t=0, \sigma_t=1 로 standard brownian motion인 경우에는 다음과 같이 더 간단해진다.
    위 Itô's lemma에서 μ\mu 와 tt 로 미분한 부분을 제거하면
    df(t,Xt)=12∂2f∂x2dt+∂f∂xdBtdf(t, X_t) = \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dB_t
    df(Bt)=f′(Bt)dBt+12f′′(Bt)dtdf(B_t) = f'(B_t)dB_t + \frac{1}{2} f''(B_t)dt 와 같은 형태

Definition (GBM)

SDE가 다음과 같은 형태로 나타날 경우 process XtX_t 는 Geometric Brownian Motion이다.
dXt=Xt(mdt+σdBt)dX_t = X_t(m dt + \sigma dB_t)

위 SDE의 해를 구하면

  • 일단 dXtXt=mdt+σdBt\frac{dX_t}{X_t}=m dt + \sigma dB_t 이고, d(lnXt)dXt=1Xt\frac{d(lnX_t)}{dX_t}=\frac{1}{X_t} , d(lnXt)=dXtXtd(lnX_t)=\frac{dX_t}{X_t} 이므로 d(lnXt)=mdt+σdBtd(lnX_t) = m dt + \sigma dB_t 와 같이 정리

  • Theorem 3.3.1. 에 따라 df(t,Xt)=12∂2f∂x2dt+∂f∂xdBtdf(t, X_t) = \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dB_t 이고 f(t,Xt)=ln(Xt)f(t, X_t) = ln(X_t) 라 하면
    XtX_t 가 standard BM d(lnXt)=(lnXt)′dXt+12(lnXt)′′(dXt)2d(lnX_t) = (lnX_t)' dX_t + \frac{1}{2}(lnX_t)'' (dX_t)^2

  • 계산하면 d(lnXt)=1XtdXt−121Xt2(dXt)2d(lnX_t) = \frac{1}{X_t} dX_t - \frac{1}{2}\frac{1}{X_t^2} (dX_t)^2

  • 그리고 (dXt)2(dX_t)^2 는 위 SDE의 quadratic variation으로 계산해서 대입하면 (dXt)2=(mXtdt+σXtdBt)2=m2Xt2(dt)2+mσXt2dtdBt+σ2Xt2(dBt)2(dX_t)^2 = (m X_t dt + \sigma X_t dB_t)^2 = m^2X_t^2(dt)^2 + m \sigma X_t^2 dt dB_t + \sigma^2X_t^2(dB_t)^2 이 때 dt→0dt \rightarrow 0 이면 (dXt)2=σ2Xt2dt(dX_t)^2 = \sigma^2X_t^2dt 가 된다. dt=dBt2dt=dB_t^2

  • (dXt)2=σ2Xt2dt(dX_t^)2 = \sigma^2X_t^2dt 를 대입하면
    d(lnXt)=1XtdXt−121Xt2σ2Xt2dt=dXtXt−12σ2dtd(lnX_t) = \frac{1}{X_t} dX_t - \frac{1}{2}\frac{1}{X_t^2} \sigma^2X_t^2dt = \frac{dX_t}{X_t}-\frac{1}{2}\sigma^2dt 이고 여기서 dXtXt\frac{dX_t}{X_t} 를 mdt+σdBtm dt + \sigma dB_t 로 바꾸면 와 d(lnXt)=mdt+σdBt−12σ2dtd(lnX_t) = m dt + \sigma dB_t - \frac{1}{2}\sigma^2dt

  • 이제 적분

    ∫0td(lnXt)=∫0tmdt+∫0tσdBt−∫0t12σ2dtln(Xt)=mt+σBt−12σ2t+Cln(Xt)−ln(X0)=mt+σBt−12σ2tln(XtX0)=mt+σBt−12σ2tXtX0=emt+σBt−12σ2tXt=X0e(m−12σ2)t+σBt\begin{aligned} \int_{0}^{t}{d(lnX_t)} & = \int_{0}^{t}{m dt} + \int_{0}^{t}{\sigma dB_t} - \int_{0}^{t}{\frac{1}{2}\sigma^2dt} \\ ln(X_t) & = mt + \sigma B_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t + C \\ ln(X_t) - ln(X_0) & = mt + \sigma B_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t \\ ln(\frac{X_t}{X_0})& = mt + \sigma B_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t \\ \frac{X_t}{X_0}& = e^{mt + \sigma B_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t} \\ X_t& = X_0 e^{(m - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma B_t} \\ \end{aligned}

    또는 Xt=X0exp((m−12σ2)t+σBt)X_t = X_0 exp((m - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma B_t)

처음에 잘못 푼 과정 $$ \begin{aligned} dX_t & = X_t(m dt + \sigma dB_t) \\ \int_{0}^{t}{\frac{dX_t}{X_t}} & = \int_{0}^{t}{m dt} + \int_{0}^{t}{\sigma dB_t} \\ ln(X_t) & = mt + \sigma B_t + C \\ X_t & = e^{mt + \sigma B_t + C} \\ & = X_0e^{mt + \sigma B_t} = X_0 exp(mt + \sigma B_t)\\ \end{aligned} $$

Example 3.4.1.

3.5 Diffusions

2024.02.08

  • 함수 m(t,x),σ(t,x)m(t,x), \sigma(t,x) 에 대해 XtX_t 가 다음과 같은 형태의 SDE를 만족하면 XtX_t 를 Diffusion process라 한다. (111p)
    dXt=m(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBtdX_t = m(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t)dB_t
  • 아래와 같이 coefficient term들이 t와 무관하면 time-homogenous라고 한다.
    dXt=m(Xt)dt+σ(Xt)dBtdX_t = m(X_t)dt + \sigma(X_t)dB_t
  • Diffusion process는 Markov process이다.
  • diffusion의 시뮬레이션은 아래와 같은 stochastic Euler rule로 가능 Xt+Δt=Xt+m(t,Xt)Δt+σ(t,Xt)ΔtNX_{t+\Delta t} = X_t + m(t, X_t)\Delta t + \sigma(t, X_t) \sqrt{\Delta t} N where N∼N(0,1)N \sim N(0,1)
  • Generator of diffusion (wikipedia Lf(x)=lim⁡t↓0Ex[f(Xt)]−f(x)tLf(x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{\mathbb{E}^x[f(X_t)]-f(x)}{t}

3.6 Covariation and the product rule

2024.02.08

  • standard BM BtB_t 에 대해 dXt=Htdt+AtdBt, dYt=Ktdt+CtdBtdX_t = H_tdt+A_tdB_t, \ dY_t = K_tdt+C_tdB_t 라 하자.
  • Covariation ⟨X,Y⟩t=∫0tAsCsds\langle X,Y \rangle _t = \int_{0}^{t}{A_sC_sds} 또는 d⟨X,Y⟩t=AtCtdtd\langle X,Y \rangle _t = A_tC_tdt

Theorem 3.6.1. stocastic product rule

d(XtYy)=XtdYt+YtdXt+d⟨X,Y⟩td(X_tY_y) = X_t dY_t + Y_t dX_t + d\langle X,Y \rangle _t

또는

XtYt=X0Y0+∫0tXsdYs+∫0tYsdXs+∫0t⟨X,Y⟩s=X0Y0+[∫0tXsKsds+∫0t[XsCs]dBS]+[∫0tYsHsds+∫0t[YsAs]dBS]+∫0tAsCsds=X0Y0+∫0t[XsKs+YsHs+AsCs]ds+∫0t[XsCs+YsAS]dBS \begin{aligned} X_tY_t & = X_0Y_0 + \int_{0}^{t}{X_sdY_s} + \int_{0}{t}{Y_sdX_s} + \int_{0}{t}{\langle X,Y \rangle _s} \\ & = X_0Y_0 + \biggr[ \int_{0}^{t}{X_sK_sds} + \int_{0}^{t}{[X_sC_s]dB_S} \biggr] \\ & + \biggr[ \int_{0}^{t}{Y_sH_sds} + \int_{0}^{t}{[Y_sA_s]dB_S} \biggr] \\ & + \int_{0}^{t}{A_sC_sds} \\ & = X_0Y_0 + \int_{0}^{t}{[X_sK_s+Y_sH_s +A_sC_s]ds} + \int_{0}^{t}{[X_sC_s+Y_sA_S]dB_S} \\ \end{aligned}

3.7 Several Brownian motions

2024.02.08

지금까지의 적분들은 모두 w.r.t. single BM 이었음

  • independent BMs w.r.t. Ft\mathcal{F_t} Bt1,...,BtdB_t^1, ... ,B_t^d 와 adapted process At1,...,AtdA_t^1, ... ,A_t^d 대해, 여러 개의 BM에 대한 SDE의 형태는
    dXt=Htdt+∑j=1dAtjdBtjdX_t = H_tdt + \sum_{j=1}^{d}{A_t^jdB_t^j}
  • ⟨Bi,Bj⟩=0, i≠j\langle B^i, B^j \rangle = 0, \ i \ne j 이다.
  • d⟨X,Y⟩t=∑j=1dAtjCtjdtd\langle X,Y \rangle _t = \sum_{j=1}^{d}{A_t^jC_t^jdt} .
  • 그리고 Itô's formula 역시 더 일반적으로 정의할 수 있다. (Theorem 3.7.1., 3.7.2.)

Theorem 3.7.2.

공간의 standard BM Bt=(Bt1,...,Btd)inRdB_t = (B_t^1, . . . , B_t^d) in \mathbb{R}^d 에 대해 함수 f:[0,∞)×Rdf:[0,\infty) \times \mathbb{R}^d 가 tt 에 대해 C1C^1 , x in Rd\textbf{x} \ in \ \mathbb{R}^d 에 대해 C2C^2 일 때

df(t,Bt)=∇f(t,Bt)⋅dBt+[f˙(t,Bt)+12∇2f(t,Bt)]dtdf(t,B_t) = \nabla f(t,B_t) \cdot dB_t+ \biggr[ \dot{f}(t,B_t)+\frac{1}{2}\nabla^2 f(t,Bt)\biggr ]dt

\* $$\nabla f(t,B_t) \cdot dB_t$$ 는 벡터들의 내적 \*\* Theorem 3.4.1. 에서 본 Itô's lemma 형태는: $$df = \biggr[ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\mu_t + \frac{\sigma_t^2}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \biggr] dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dB_t$$ 여기서 공간에 대해 미분하는 항들만 여러 공간에 대한 형태로 바뀐 것

3.8 Exercises

(Skip)

References