I.1 Open and Closed Sets

동기

4학년 1학기가 시작되기 전 수강신청 기간, 전공 학점은 10학점 남은 상태가 되어서 여유가 생긴 김에 어떤 과목을 수강해 볼지 잠깐 고민을 했다. 운동 과목을 신청해볼까 했지만 교양테니스 수업은 어림도 없이 실패했기 때문에, 그냥 오래 전부터 가끔 생각해봤던 것처럼 낭만있게 수학 수업을 들어보는 도전을 해볼까 생각이 들어서 이번 학기에 신청할 수 있는 수학과의 수업은 무엇이 있는지 찾아봤다.

아무래도 가장 궁금한 분야는 해석학이었는데, 마침 하나 발견한 것이 위상수학1이었다. 고등학생이 되기 직전 안될과학의 푸앵카레 추측 영상을 본 적이 있었는데, 이때 위상동형이라는 말을 듣게 된 후로 '위상수학' 이라고 하면 굉장히 나와는 멀고 전문적인 분야인 듯한 막연한 동경이 있었다.

그런데 Syllabus를 열고 'Metric Space'라는 단어가 눈에 들어왔을 때 본능적으로 '이 수업 도전해볼만 할지도?' 라는 생각이 들었다. 딱 1년 전쯤에 혼자 Measure에 대해 이것저것 검색해보면서 공부해보던 시기에 들어본 적이 있는 어휘였고, completeness도 같은 시기에 cauchy sequence라는 것을 알게 되면서 들어본 적은 있는 개념이었다. 재작년에 미시경제1을 수강하지 않은 상태로 미시경제2를 신청했던 것처럼, 뭔가 해볼 수 있을 것 같아서 위상수학1을 신청했다.

수업을 듣다보니 느낄 수 있었던 점이지만, 이전에 혼자 countable과 uncountable이란 무엇인지 알아봤던 점, 그리고 이것저것 보면서 $\text{Sup}$ 은 supremum이라는 뜻이라는 걸 알고 있었던 점 등등 사소한 경험치들이 제법 도움이 됐다. 그리고 어제 (2025.06.18) 이미 기말고사를 보고 종강을 했지만, 지금까지 배웠던 내용들 중 기억에 남기고 싶은 여러 정의 및 증명들을 나의 언어로 정리해두려 한다.

I. Metric Spaces

Topological Space에 앞서 Metric Space가 먼저 등장한다. 상대적으로 덜 추상적인 Metric Space를 기준으로 여러 개념들을 한 번 배운 후에 Topological Space로 넘어가게 되는데, 물론 그렇다고 Metric Space가 쉬운 것도 아니었다.

Open and Closed Sets

고등학교에서 열린 구간과 닫힌 구간이라고 배웠던 그것에서 확장하여, Open set과 Closed set이 Metric Space에서 어떻게 정의되는지 살펴볼텐데, 그에 앞서 Metric과 Metric Space란 무엇인지부터 정의한다.

Definition (Metric)

Definition
다음의 4가지 조건을 만족시키는 함수 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ 를 metric (on a set $X$ ) 이라고 한다.
i) $\ \quad d(x, y) \geq 0, \quad x,y \in X$
ii) $\quad d(x, y) = 0 \quad \text{iff} \quad x=y$
iii) $\quad d(x, y) = d(y,x), \quad x,y \in X$
iv) $\quad d(x, z) \leq d(x,y) + d(y,z), \quad x,y,z \in X$

Metric은 어떤 집합 $X$ 에 대하여 정의하는 real-valued function으로, 집합의 원소 간에 무언가를 측정하기 위한 함수이다.

Definition (Metric Space)

Definition
A metric space $(X, d)$ is a set $X$ equipped with a metric $d$ on $X$ .

(보통은 짧게 'metric space $X$ ' 라고 칭할 때가 많다.)

집합 $X$ 에 metric $d$ 가 주어지면 이 둘을 묶어서 Metric Space 라고 칭하며 공간이라 부르게 된다. 또한 집합 $X$ 의 각 원소들을, 공간에서는 point 라고 부른다. 이제 metric을 이용하여 특정 공간에 대해 여러가지를 생각해보기 시작한다.

볼드 처리한 단어 equipped는 단어 선택이 정말 탁월하다는 생각이 들었던 부분이다. metric을 이용해서 Topological Space보다는 덜 추상적이게 여러 개념들을 생각해볼 수 있는데, 이렇듯 도구와도 같은 metric의 역할과 equip 이라는 어휘가 정말 잘 어울린다.

또한 subspace란...

Example (Euclidean metric)

가장 대표적인 metric은 역시 아래와 같은 Euclidean metric이고, Euclidean distance와 같으므로 자연스럽게 거리를 떠올리게 된다.

\begin{aligned} d(x,y) = \left[ \sum_{j=1}^{n}{(x_j - y_j)^2} \right]^{1/2} \end{aligned}

이 metric을 $X=\mathbb{R}$ 에 대하여 정의하면, 두 point 사이의 거리는 수직선 위에서 두 점의 값을 뺀 절댓값이고
이 metric을 $X=\mathbb{R^2}$ 에 대하여 정의하면, 두 point 사이의 거리는 평면 위의 두 점을 잇는 대각선의 길이를 구한 값과 같다.

나아가 - $X=\mathbb{R^n}$ 일 경우, 다른 코멘트가 없다면 metric은 Euclidean metric이 사용된다.

Example (Discrete metric)

아래는 Discrete metric이라 부르고, 두 점이 같은지 여부만을 고려한다.

\begin{aligned} d(x, y) = \begin{cases} 0 \quad \text{if} \quad x = y \\ 1 \quad \text{if} \quad x \ne y \end{cases} \end{aligned}

이 외에도 집합의 각 point가 함수에 대응되는 경우에 대한 metric, subset들 사이의 거리를 측정하는 Hausdorff metric 등이 있다.

Definition (Open ball)

Definition
$x \in X$ 에 대해 $B(x, r) = \{ y \in X \vert d(x, y) < r \}$ 를 ( $x$ 를 중심으로 하는) Open ball 이라 한다.

앞으로의 거의 모든 논의에서 사용되는 open ball이다. $\mathbb{R}$ 에서의 open ball은 열린 구간, $\mathbb{R^2}$ 에서의 open ball은 가장자리가 없는 원모양 형태임을 생각하며 여러가지 증명들을 이해하면 ~~겨우겨우 이해는 할 수 있다.~~ 된다.

뒤늦게 느낀 것은, 그래도 형태를 상상하기 수월한 open ball같은 것이라도 있기에 여러가지를 이해하기가 그래도 좀 더 수월했다. (Topological space에 비해...)

Definition (Interior point)

Definition
어떤 point $x \in X$ 와 $X$ 의 subset $Y$ 에 대해 $B(x,r) \subset Y$ 을 만족시키는 $r>0$ 이 존재할 경우, $x$ 는 $Y$ 의 Interior point 라 한다.

또한 $Y$ 의 모든 interior point들의 집합을 $\text{int}(Y)$ 라 표기하고, interior 라 부른다. 자명하게 $\text{int}(Y) \subset Y$ 이다.

나아가 $\text{int}(Y)=Y$ 일 경우 subset $Y$ 는 open 이다. 즉 open set이란 무엇인지 정의하는 데에 interior가 사용된다.

직관적인 이해는, 특정 부분집합의 경계에서 아무리 경계와 가까운 point를 선택해도 (그 point를 중심으로) 경계와 닿지 않는 open ball을 찾을 수 있다면 그 부분집합은 열린 집합(open set)이라는 것이다. 물론 이게 모든 point $x \in Y$ 에 대해 성립해야 한다.

예를 들어 $\mathbb{R^2}$ 의 subset인 $\mathcal{U}=\{(x, y) \in \mathbb{R^2} \vert x^2 + y^2 < 1 \}$ 는, 테두리에 가까운 $(0.8, 0.6), (0.9245, 0.3811)$ 등의 점들을 아무리 떠올려도, 결국 $\mathcal{U}$ 에 완전히 포함되는 open neighborhood를 찾을 수 있다. (예를 들어, $B((0.9245, 0.3811), 10^{-6})$ 과 같이 $r$ 값을 작게 잡으면 $\mathcal{U}$ 의 subset이 되게 할 수 있다.) 따라서 $\mathcal{U}$ 는 $\mathbb{R^2}$ 의 open subset이다.

Theorems

이를 바탕으로 여러가지를 증명하는데, 몇 가지 정리만 남겨보면...

Metric Space $X$ 의 open ball은 $X$ 의 open subset이다.
Metric space $X$ 의 subset $U$ 가 open $\Leftrightarrow$ $U$ 는 $X$ 의 open ball들의 union이다.
Open subset들의 union은 open subset이다. (union하는 개수가 유한/무한한 경우 모두)
Open subset들의 finite intersection은 open subset이다.
Metric Space $X$ 의 subspace $Y$ 에 대해서
' $Y$ 의 subset $U$ 는 $Y$ 의 open subset이다 $\Leftrightarrow$ $X$ 의 어떤 open subset $V$ 에 대해 $U = V \cap Y$ 이다.'

세 번째, 네 번째는 이후 Topology의 정의와도 연관이 크고, 다섯 번째는... 처음 볼 때는 이런 걸 왜 알아냈을까 싶지만 나중에 증명들을 할 때 등장하곤 했다.

Definition (Adherent point)

Definition
어떤 point $x \in X$ 와 $X$ 의 subset $Y$ 에 대해, $B(x,r) \cap Y \ne \emptyset$ 이 임의의 $r>0$ 에 대해 성립할 경우, $x$ 는 $Y$ 의 Adherent point 라 한다.

$Y$ 의 모든 adherent point들의 집합을 $\overline{Y}$ 라 표기하고, closure 라 부른다. 자명하게 $Y \subset \overline{Y}$ 이다.

또한 $Y=\overline{Y}$ 일 경우 subset $Y$ 는 closed 이다.

이쯤부터 open set과 closed set의 구분에 대해 생각해보게 된다. 위에서 등장한 $\mathcal{U}$ 와 달리, $\mathbb{R^2}$ 의 subset $\mathcal{V}=\{(x, y) \in \mathbb{R^2} \vert x^2 + y^2 \leq 1 \}$ 는 상황이 다르다. $\mathcal{V}$ 의 point 중 하나인 $(1,0)$ 을 중심으로는 $r$ 의 값을 아무리 작게 해서 open ball을 만들어도 $\mathcal{V}$ 의 subset이 될 수 없으므로 open subset은 아니다. 같은 이유로 $B((1,0), r) \cup \mathcal{V} \ne \emptyset \quad \forall r>0$ 이므로 $(1,0)$ 은 $\mathcal{V}$ 의 adherent point이고 $(1,0) \in \overline{\mathcal{V}}$ 이다. 그리고 $\mathcal{V}$ 의 모든 point들에 대해서 따져봐도 그 모든 point들은 closure에 포함되기 때문에 $\mathcal{V}$ 는 $\mathbb{R^2}$ 의 closed subset이다.

한 편, $(1,0)$ 은 $\mathcal{U}$ 의 adherent point이기도 하다. 즉 $(1,0) \in \overline{\mathcal{U}}$ 이라는 건데, $(1,0) \notin \mathcal{U}$ 이니 $\mathcal{U} \ne \overline{\mathcal{U}}$ 이어서 $\mathcal{U}$ 는 closed subset이 아니다.

Theorems

또다시 여러가지 정리가 등장한다.

Closure is closed ( $\overline{Y}=\overline{\overline{Y}}$ )
Metric space $X$ 의 subset $Y$ 가 closed $\Leftrightarrow$ $X \backslash Y$ 가 open
Closed set들의 finite union, any intersection은 closed set이다.

이중 두 번째는 앞으로 매우 자주 등장하고, 세 번째는 open set에서와 반대임을 알 수 있다.

Definition (Convergence of sequence)

Definition
Metrix space $X$ 안의 수열 $\{ x_i \}_{i=1}^{\infty}$ 는 다음을 만족할 경우 $x$ 로 수렴한다.
$\lim_{x\to\infty} d(x_n, x) = 0$

수열이 수렴점을 가지는 조건에 대한 정의이다. 이 정의를 여러 증명에서 사용할 때에는 아래의 식을
$'\forall \varepsilon>0, \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall i > N, \ d(x_i, x) < \varepsilon'$ 와 같이 풀어서 적용한다.

이와 관련해 소개되는 Lemma는 'Metric space에서 covergent sequence의 수렴점은 유일(unique)하게 존재한다' 는 것인데, 이는 뒷부분에서 연습문제로 등장한다. Hausdorff space부터는 수열의 수렴점이 유일하게 존재함을 보이는데, metric space는 normal space이니 수렴점이 유일해야 것. 이라는 생각이 지금 한 학기 다 끝나고 나니 든다.

2025.06.19

References

Introduction to Topology, 2ed (T.W. Gamelin and R.E. Greene)